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BTS Comptabilité et gestion des organisations
Première année

Mathématiques
Devoir 2

Exercice 1
C’est le coût annuel d’entretien et de réparation d’un équipement d’âge t, durant les cinq dernières années.
1. On pose Di = ln Ci où ln désigne le logarithme népérien.
a)
1

2

3

4

5

Ci en centaines d’euros

13,3

14,2

16,1

18,9

23,6

Di

2,588

2,653

2,779

2,939

3,161

ti en années

b) Le nuage de points a une direction privilégiée. Les points semblent se regrouper autour d’une droite. On peut donc envisager un ajustement affine.
N.B. Pour des raisons techniques la représentation du nuage des points et de la droite ( Δ ) ne figure pas sur ce corrigé.

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2. a) Soit, r le coefficient de corrélation linéaire de la série (ti, Di).
La calculatrice donne r 0,979. r est proche de 1 ; la corrélation entre les variables t et D est donc forte. Un ajustement affine est donc bien envisageable.
b) Soit ( Δ ) la droite de régresssion de D en t.
A l’aide de la calculatrice, nous obtenons une équation de ( Δ ).
D=2,394 + 0,143 t.
c) D = ln C d’où C = eD
C = e2,394 + 0,143t
C = e2,394 x e0,143t
d) Si l’évolution du coût constaté pendant 5 ans se poursuit, il est possible de prévoir le coût pour l’année de rang 7.
Il est donné par C(7) = e2,394 x e0,143x7
C(7) = 29,815 (en centaines d’euros)
Le coût d’entretien et de réparation de l’équipement lorsqu’il aura 7 ans s’élèvera à environ 2 982 €.

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Exercice 2 f(x) =

x 2 + 3x + 12 x −1

1. On réduit au même dénominateur et ensuite on pratique par comparaison
(ax + b)( x − 1) + c ax 2 + (− a + b) x − b + c
=
x −1 x −1 donc a=1, -a+b=3 et –b+c=12 ce qui donne a=1, b=4 et c=16. f ( x) =

16
16
et lim
= 0 alors lim f ( x) = −∞ et lim f ( x) = +∞ x →−∞ x →+∞ x − 1 x →±∞ x − 1
Donc il n’y a pas d’asymptote horizontale.

2. Comme f ( x) = x + 4 +

3. lim f ( x) = −∞ car
−
x →1