Université Blaise Pascal
UFR Sciences et Technologies
Licence Sciences et Technologies

Méthodes Numériques
2007/2008

Cursus : Licence Mathématiques (L3)

Contrôle Continu n°1

Groupe : F2

1 . INTRODUCTION

Dans ce projet on cherche à calculer les valeurs approchées de l’intégrale sur un intervalle [a, b] d’une fonction g qui est suffisamment régulière sur cet intervalle, par différentes méthodes. Ici : - g(x) = 1/x sur R* donc sur l’intervalle [1, 2] - g(x) = sinx+xcosx est continue sur R donc sur [0, 3π] - g(x) = | x | σ est continue sur R donc sur [-1, 2] = [-1, 0] U [0, 2] (avec σ = 0.1 et σ = 2.1)

1. Méthode des Trapèzes

La méthode des trapèzes consiste à approcher à gauche I pour l’approximation de g par une fonction affine sur caque intervalle [xi, xi+1] pour tout i Є {0,……,N} et qui coïncide avec f en xi et xi+1. Cette méthode donne une meilleure approximation par rapport à celle des rectangles à gauche ou à droite qu’on n’étudiera pas ici.

2. Méthode Romberg

On considère deux subdivisions régulières de [a, b], l’une à N+1 points (N Є N*) de pas h notée (xi)i=0,…N , l’autre à 2N+1 points de pas h/2 notée (yi)i=0,…,2N.

a) on demande de vérifier les formules suivantes : - pour tout k Є {0,……,N} xk = y2k - pour tout k Є {0,……, N-1} ( xk + xk+1 ) / 2 = y2k+1
On sait que pour tout k Є {0,……, N} on a xk = a + kh y2k = xk ( y2k = a + ((2k)h) / 2
C’est h/2 car les pas de cette subdivision est h/2. y2k = a + ((2k)h) / 2 = a+ kh = xk pour tout k Є {0,……, N}

Maintenant les formules pour les termes impairs : le pas est toujours h/2 mais k Є {0,……, N-1} car k = 0 => 2k+1 = 1 k = N-1 => 2k+1 = 2N y2k+1 = a + ((2k+1)h) / 2 = a + 2(kh)/2 + h/2 = (2a+2kh+h)/2

xk + xk+1 = a + kh + a + (k+1)h = 2a + 2kh +h
(xk + xk+1) = ( 2a + 2kh +h ) / 2 = y2k+1 pour tout k Є {0,……, N-1}

b) on veut déduire de a) que T (2)