Angle droit

d Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires ? Outil Données Propriété Conclusion Si un angle est droit alors les droites supports des côtés de cet angle sont perpendiculaires (AB) ⊥ (AC) Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une alors elle est perpendiculaire à l’autre (d) ⊥ (d’’) (d) ⊥ [AB] (d) médiatrice de [AB] Si une droite est la médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce

l'intervalle ) associe le nombre f(x) = PQ. b. En déduire un encadrement de PQ, puis un encadrement de PQ. c. Montrer que, M tel que PQ = l existe si et seulement si l ∈ )) 4. Soit I le point d'intersection des droites ) et ). Démontrer que : a. I ne dépend pas de la position de M du point M sur ) b. IM = l 5. a. En déduire une construction géométrique d'un point M à la règle et au compas, pour l ∈ )) NOM et PRENOM : ……………………

,r a) Démontrer que: Pour tout point M de E :     2 MA .MB  M  r 2 b)i) Déduire de a) que: M  S ,r  MA  MB ii) Enoncer le résultat analogue dans le plan P 3) S et S ’ sont deux sphères de même centre  ,  et ’ sont deux demi-droites perpendiculaires, d’origine  ,  coupe S en A et S ’ en A’ , ’ coupe S en B et S ’ en B’ , I est le milieu du segment AB'  Démontrer que: (  I)  (A’B) 7) Projection orthogonale d’un vecteur sur un autre: u et v  0 sont deux vecteurs de E

Édition : Anne-Sylvie Stern Maquette intérieure : Frédéric Jély Mise en page : CMB Graphic Dessins techniques : Gilles Poing ISBN : 978-2-01-125520-4 © Hachette Livre 2007, 43, quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15. Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. www.hachette-education.com Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage

de l’hypoténuse [BC] est le centre du cercle circonscrit 3. Théorème 3 Le point O étant le centre du cercle, [AO] est un rayon du cercle. et mesure la moitié du diamètre [BC]. Si un triangle est rectangle alors la médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse Le triangle ABC est rectangle en A et O est le milieu du côté [BC] 1 donc AO = BC ou AO = OB = OC 2 4. Exercice corrigé a. Construire un triangle MEN sachant que MN = 5cm, M =35° et N = 55°. b. Trouver le

une droite et (x’y’) sa symétrique. (x’y’) est une droite. Le symétrique d’une droite est une droite. Propriété : La symétrie centrale conserve l’alignement des points. (xy) // (x’y’). Une droite et sa droite symétrique sont parallèles. Propriété : La symétrie centrale conserve les directions des droites. Propriété : Le symétrique d’un cercle de centre C est un cercle de même rayon et de centre C’. 5ème - Chapitre 2 : Symétrie centrale 2/3 xAy = x’A’y’. Le symétrique d’un angle est

deviendront le théorème de Thalès (nom donné au 18e siècle). Il prouve par exemple qu’un diamètre partage un cercle en deux demi-cercles superposables, que les angles à la base d’un triangle isocèle sont superposables, que tout angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit. Il développe la notion d’égalité des nombres réels de deux figures en utilisant le glissage et le pivotage. Il pense que la matière peut être divisée indéfiniment mais il se trompait. Thalès montre que l'ambre (résine nommé elektron par

+ 16 = 65 AB² + BC² = (2 - (-2))² + (-1 - 5)² + (5 - 2)² + (1 - (-1))² = 16 + 36 + 4 = 65 On a AC² = AB² + BC², donc selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B. 2) Si ABCD est un parallélogramme avec un angle droit alors c'est un rectangle. → → Le point D est donc défini par l'égalité vectorielle : AD = BC . xD + 2  5 - 2    Soit   yD - 5 = 1 - (-1) D'où : xD = 3 - 2 = 1 et yD = 5 + 2 = 7 +9 Les coordonnées de D sont : (1;7).

II. Enroulement de la droite numérique 1) Définition de l’enroulement Dans un repère orthonormé (   O ; i ; j , on considère le cercle ) trigonométrique et une droite (AC) tangente au cercle en A et orientée  telle que A ; j soit un repère de la droite. ( ) Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 2 sur 8 Si l’on « enroule » la droite autour du cercle, on associe à tout point N d’abscisse x de la droite orientée un unique point M du

vous appuyant sur les éléments des questions 2, 3 et 4, la nature du quadrilatère ABCD. Comme ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu E ; c’est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux ( AB = BC ) ; c’est un losange et un angle droit en B (ABC est rectangle en B) ; c’est un carré. Le quadrilatère ABCD est un carré. 1 6. On considère le point L ( ; 3). Indiquer une méthode (non graphique) permettant de savoir si ce point 2 appartient ou n’appartient pas à la médiatrice du segment