Cercle circonscrit

rectangle. Triangle rectangle et cercle circonscrit • • Si un triangle est un triangle rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit. Si un triangle est un triangle rectangle, alors la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse. Exemples • Le triangle ABC est rectangle en C. Où se trouve le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC? Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle se trouve

centre O. Les points E et I sont les milieux respectifs des segments [AD] et [AB]. Les droites (AC) et (BE) se coupent en L. Démontrer que les points D, L et I sont alignés. Exercice n° 3  C  et  C ' sont deux cercles de même rayon et de centres respectifs O et O’. Ces deux cercles sont sécants en deux points A et B. Démontrer que les droites (OO’) et (AB) sont perpendiculaires. Exercice n° 4  O; I , J  est un repère orthonormé tel que OI  OJ  1cm . a) Placer les points A   4;6  , B 

centre O. Les points E et I sont les milieux respectifs des segments [AD] et [AB]. Les droites (AC) et (BE) se coupent en L. Démontrer que les points D, L et I sont alignés. Exercice n° 3  C  et  C ' sont deux cercles de même rayon et de centres respectifs O et O’. Ces deux cercles sont sécants en deux points A et B. Démontrer que les droites (OO’) et (AB) sont perpendiculaires. Exercice n° 4  O; I , J  est un repère orthonormé tel que OI  OJ  1cm . a) Placer les points A   4;6  , B 

concours des 3 médianes. ▶ L’orthocentre d’un triangle est le point de concours des 3 hauteurs. ( ) ( ) ( ) On se place dans un repère (O, I, J). On donne : A 4 ; − 3 , B 0 ; 5 et C 4 ; 3 . On cherche les coordonnées du centre de gravité, du cercle circonscrit et de l’orthocentre du triangle ABC. CNED SECONDE – MATHÉMATIQUES – 2015 11 2 DEVOIR 2 Centre de gravité On note G le centre de gravité du triangle ABC. ᕡ Déterminer les coordonnées du milieu M de [BC]. 7 ᕢ Montrer que la droite (AM)

Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (BC). 3. Calculer l’aire du triangle AEF. Exercice 2 A D + Sur la figure ci-contre, • le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, • ABC est un triangle équilatéral, • le point D est le point diamétralement opposé au point B sur ce cercle. O B C 1. Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier. 2. Quelle est la mesure de l’angle ABD ? Justifier. −−→ 3. On désigne par E l’ image du point D par la translation

zE=1+6i . c. Le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC est FA = |zA − zF | = | − 5 + 6i + 2 − i| = | − 3 + 5i| = FE = |zE − zF | = |1 + 6i + 2 − i| = |3 + 5i| = 34. 34. FE=FA donc E appartient au cercle circonscrit au triangle ABC. (Remarque : H est en fait l’orthocentre du triangle ABC et on a vérifié une propriété générale dans un triangle disant que le symétrique de l’orthocentre d’un triangle par rapport à un côté de ce triangle appartient au cercle circonscrit ) zA + zC −5 + 6i + 3 − 2i

rectangle en B. Page 2 • Théorème Si un triangle est inscrit dans un cercle et si un côté du triangle est un diamètre du cercle, alors ce triangle est rectangle. Note : Dire qu’un triangle est inscrit dans un cercle signifie que ses trois sommets appartiennent au cercle SI ALORS - Le triangle ABC est inscrit dans le cercle (A, B et C appartiennent au cercle) ABC est un triangle rectangle en A - [BC] est un diamètre du cercle • Théorème Si le milieu d’un côté d’un triangle est à égale distance

morceaux de tissus de forme triangulaire qui, une fois assemblés, dessinent une forme de polygone régulier tels que les hexagones, octogones, etc. Ils permettent d’une part un calcul facile de la descente du projectile, en fonction du rayon du cercle circonscrit au polygone, et donc d’un des cotés isocèle des triangles choisis. D’autre part, ils sont faciles à fabriquer et peu onéreux. Le parachute hémisphérique :

de (RM). Faire apparaître vos constructions et les expliquer. Exercice n°1 : Exercice n°2 : Droite d’Euler d’un triangle. Soit ABC un triangle, A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. On note O le centre du cercle circonscrit au triangle. 1. Soit H le point du plan défini par : OH=OA+OB+OC. a) Placer H sur la figure. b) Montrer que : OB+OC=2OA'. c) En déduire AH en fonction de OA'. d) Montrer que la droite (AH) est perpendiculaire à la droite (BC). e) Pourquoi

carrés des cotes de l'angle droit. | La trigonométrie : Le cosinus d'un angle aigue dans un triangle rectangle. | cos c =AC=cote adjasant CB hypotenuse -le sinus -la tangente | Theoreme du cercle: | Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse. | 1. Si deux angle sont symetrique des angles alternes-interne par rapport a une droite alors ils ont la meme mesure. 2. Si deux angle sont opposé par le sommet alors ils ont